Calcolo di una norma!

[Francesco]

Ciao a tutti, ho la seguente formula:

pn(x) = a0/2 + \sum_{k=1}^+n (ak*cos kx + bk*sin kx)

dove a0,a1...;b1,b2,... sono opportuni coefficienti

della quale dovrei calcolare la norma in L^2

sul testo il risultato è:

||pn^2||^2 = \int_{-\pi}^{\pi} |pn(x)|^2\, dx =
= 1/2*|a0|^2 + \sum_{k=1}^+n (|ak|^2 + |bk|^2)

Ad occhio mi sembra che per procedere spezzi l'integrale nella somma
degli integrali di (a0/2)^2 e per ogni k di (ak*coskx + bk*coskx)^2 quindi:

|pn(x)|^2 = (|a0/2| + |somme(ak*coskx + bk*sinkx)|)^2 cosa palesemente
sbagliata!

Come si calcola quindi questa norma?

--
Per rispondermi in privato togliere le prime due cifre dal numero!

[Massimo Borsero]

Ti ricordo che, in generale, per un prodotto scalare hermitiano

||a + b||^2 = <a + b, a+ b> = ||a||^2 + ||b||^2 + <a , b> + <b , a >

Nel tuo caso del polinomio di Fourier i polinomi cos kx e sin mx formano una
base ortogonale di L^2(-pi , pi) e i coefficienti sono reali, quindi....

> ||pn^2||^2 = \int_{-\pi}^{\pi} |pn(x)|^2\, dx = 1/2*|a0|^2 + \sum_{k=1}^+n
> (|ak|^2 + |bk|^2)

Comunque c'è un problema coi coefficienti. La norma L^2 nuda e cruda è

||pn^2||^2 = Pi /2*|a0|^2 + Pi \sum_{k=1}^+n (|ak|^2 + |bk|^2)

il risultato del libro lo ottiene solo con una norma pesata dividenti per
1/Pi , con la famiglia 1/sqrt{Pi} , cos kx /sqrt (Pi) , sin mx / sqrt(Pi)
diventa ortonormale.

[Valter Moretti]

On Jul 29, 10:15*am, Francesco <francesco.rossi1...*gmail.com> wrote:
> Ciao a tutti, ho la seguente formula:
>
> pn(x) = a0/2 + \sum_{k=1}^+n (ak*cos kx + bk*sin kx)
>
> dove a0,a1...;b1,b2,... sono opportuni coefficienti
>
> della quale dovrei calcolare la norma in L^2
>
> sul testo il risultato è:
>
> ||pn^2||^2 = \int_{-\pi}^{\pi} |pn(x)|^2\, dx =
> = 1/2*|a0|^2 + \sum_{k=1}^+n (|ak|^2 + |bk|^2)
>
> Ad occhio mi sembra che per procedere spezzi l'integrale nella somma
> degli integrali di (a0/2)^2 e per ogni k di (ak*coskx + bk*coskx)^2 quindi:
>
> |pn(x)|^2 = (|a0/2| + |somme(ak*coskx + bk*sinkx)|)^2 cosa palesemente
> sbagliata!
>
> Come si calcola quindi questa norma?
>
> --
> Per rispondermi in privato togliere le prime due cifre dal numero!

Mi pare che ci sia qualche errore nella formula finale. (Assumo che il
dominio delle funzioni sia
[0, 2pi].)

||pn^2||^2 = \int_{-\pi}^{\pi} |pn(x)|^2\, dx = 1/2*|a0|^2 +
\sum_{k=1}^+n (|ak|^2 + |bk|^2)

Qui mi pare che manchi un i fattore pigreco a secondo membro che
moltiplica tutto.

In ogni caso, se sei sul campo reale, moltiplica
pn(x) = a0/2 + \sum_{k=1}^+n (ak*cos kx + bk*sin kx)
per
pn(x) = a0/2 + \sum_{h=1}^+n (ah*cos hx + bh*sin hx).
Se sei sul campo complesso, moltiplica
pn(x) = a0/2 + \sum_{k=1}^+n (ak*cos kx + bk*sin kx)
per
pn*(x) = a*0/2 + \sum_{h=1}^+n (a*h*cos hx + b*h*sin hx)
e fai lo stesso, dove * indica il complesso coniugato.
Poi esegui tutti gli integrali che trovi. Il risultato è, per
definizione, ||pn||^2.
Gli integrali sono abbastanza facili: sono tutti nulli eccetto (1)
quando si incontrano due seni o due coseni con lo stesso argomento e
(2) int |a0|^2/4 dx
Ciao, Valter

[Francesco]

Valter Moretti ha scritto:
_cut_
> Qui mi pare che manchi un i fattore pigreco a secondo membro che
> moltiplica tutto.

Si, avete ragione mi sono scordato un pigreco, comunque grazie ad
entrambi per l'aiuto!

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Per rispondermi in privato togliere le prime due cifre dal numero!